ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA VOL 1

Público alvo: 
PRIMEIRO, SEGUNDO E TERCEIRO CICLOS DAS UNIVERSIDADES E ENGENHEIROS PROFISSIONAIS. - TEORIA E EXERCÍCIOS DE EXAMES EXPLICADOS E RESOLVIDOS. Autores: Emanuel Vaz,  UP, MIT, SORBONNE, JIC , NYAS;  João Vaz,  ISEP;  Hugo Vaz,  IESF
 

Conteúdos essenciais: Determinantes. Introdução à noção de determinante.Determinante de uma matriz de ordem 1. Determinante de uma matriz de ordem 2. Determinante de uma matriz de ordem 3. Exercícios resolvidos. Teorema de Bezout. Definição de determinante.  Propriedades. Corolário. Desenvolvimento de um determinante segundo os elementos de uma fila. Teorema de Jacobi.Teorema de Laplace. Corolário do Teorema de Laplace. Multiplicação de determinantes.Matrizes.Conceito de matriz. Definições. Retangular.Quadrada. Real. Complexa. Matrizes iguais. Matrizes vetores. Matriz linha.Matriz coluna. Matriz nula. Cálculo matricial. Adição de matrizes. Propriedade comutativa. Propriedade associativa. Elemento neutro. Admite oposta. Multiplicação de um escalar por uma matriz. Multiplicação de matrizes. Propriedades. Propriedade associativa. Distributividade relativamente à adição. Matriz transposta. 
2.2.3.1.4. Propriedade da matriz transposta. Matriz conjugada.  Propriedades.  Matrizes quadradas. Matriz identidade.Propriedade.Matriz inversa. Teorema da matriz inversa. Cálculo da matriz inversa por determinantes. Cálculo da matriz inversa pelo método de Gauss.  Inversão de matrizes. Algoritmo da eliminação completa por Gauss-Jordan. Definição de matriz de Hilbert. Algumas matrizes de Hilbert. A matriz inversa de Hilbert. Propriedades. Outros tipos de matrizes. Definições básicas, decomposição e normas matriciais. Definições básicas. Algumas decomposições matriciais. Teorema da decomposição de Schur.  Teorema da decomposição real de Schur. Teorema da decomposição de Schur para matrizes normais. Teorema da decomposição real de Schur para matrizes simétricas, antissimétricas e ortogonais.  Definição de bloco de Jordan.  Teorema da forma canónica de Jordan. Definição do bloco real de Jordan.  Teorema da forma canónica real de Jordan. Decomposição polar. Normas matriciais e número de condição. Definição de norma matricial. Definição de norma matricial unitariamente invariante. Norma de Frobenius. Norma espetral. Definição de número de condição.  Aproximantes de Padé. Definição de aproximante de Padé. Teorema. Corolário. Teorema.  Computação da exponencial de uma matriz. Análise do erro inverso das aproximações de matrizes de Padé. Lemas. Teorema.Corolários. Escalar e quadrar. Funções matriciais primárias. Definição de uma função no espetro de uma matriz. Teorema. Problemas. Teorema. Teorema da função matricial primária. Teoria dos logaritmos de matrizes. Definição e motivação. Teoremas. Corolário para o logaritmo da matriz inversa.  Teorema. Logaritmos e matrizes reais.  Teorema da existência de logaritmo real de uma matriz. Teorema da unicidade do logaritmo real de uma matriz. 
2.4. Logaritmos de tipos particulares de matrizes. Matrizes simétricas definidas positivas. Teorema da unicidade do logaritmo de uma matriz simétrica definida positiva. Matrizes normais. Lema. Teorema. Matrizes ortogonais. Lemas. Teoremas. Métodos para calcular logaritmos de matrizes. Condicionamento do logaritmo. Teorema. Desenvolvimento em série de  . Teorema. Desenvolvimento de  .  Teorema. Teorema do aproximante diagonal. Aproximantes de  . Lema. Notas. Lema. Teorema. Corolário.  Comparação dos majorantes do erro de Padé. Condicionamento dos aproximantes de Padé. Lema. Outro procedimento: “escalar o inverso e quadrar”.  Procedimento. Extração de uma raiz quadrada de uma matriz. Teorema. 
2.7.2.4. Método de Briggs-Padé. Algoritmo 1. Algoritmo 2. Métodos polinomiais. Teorema. Corolário. Problema. Métodos baseados em integrais. Lema. Teorema. Exercícios com soluções   . Trabalhos práticos com resolução desenvolvida  .

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