SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Emanuel Eduardo Pires Vaz
Prefácio[1]
O segundo volume de Álgebra Linear e Geometria Analítica tem por fim apresentar métodos correntes e outros inovadores na resolução dos sistemas de equações lineares. É apresentado com todo o rigor matemático na teoria e demonstrações bem como os exemplos que ajudam à compreensão e aplicação da matéria. É um livro de consulta para os três ciclos das universidades em matemáticas e particularmente em engenharia e gestão.
O autor
Emanuel E. P. Vaz.
Índice
Prefácio
1.Solução de sistemas de equações lineares pelo método de Castilho.
2. Sistemas de equações lineares.
2.1. Definições.
2.1.1. Definição.
2.1.2. Definição.
2.2. Exemplo.
2.3. Definição.
2.4. Exemplo.
2.5. Definição.
2.5.1. Exemplo.
2.6. Definição.
2.6.1. Exemplo.
2.7. Teorema.
2.7.1. Exemplo.
2.7.1.1. 1ª eliminação
2.7.1.2. 2ª eliminação.
2.7.1.3. Exemplo.
2.7.1.4. 1ª eliminação.
2.7.1.5. 2ª eliminação.
2.8. Teorema.
2.9. Demonstração.
2.10. Observação.
2.11. Exemplo.
2.12. Resolução de sistemas lineares com escalonamento da matriz aumentada.
2.13. Regra de Cramer.
2.13.1. Demonstração da regra de Cramer. .
2.13.2. Exercícios sobre sistemas de equações lineares.
2.14. Sistemas quaisquer de equações lineartes.
2.14.1. Definição: determinante caraterístico.
2.14.2. Teorema de Rouché.
2.14.2.1. Demonstração do teorema e Rouché.
2.15. Teorema de Krönecker.
2.16. Sistemas de equações homogéneas.
2.16.1. Teorema.
2.16.1.1. Exercícios.
2.17. Sistema fundamental de soluções de um sistema de equações lineares homogéneas.
2.17.1. Exemplo.
2.17.2. Exemplo.
2.17.3. Exemplo.
Apêndice
A.1. Sistema de equações lineares.
A.1.1. Representação do sistema linear.
A.1.1.1. Métodos de solução.
A.1.1.1.1. Métodos diretos.
A.1.1.1.2. Métodos iterativos.
A.1.1.1.3. Regra de Cramer.
A.1.1.1.4. Inversão da matriz 
.
A.1.1.1.5. Eliminação de Gauss.
A.1.1.1.5.1. Exemplo numérico.
A.1.1.1.5.1.1. Estágio 1.
A.1.1.1.5.1.2. Estágio 2.
A.1.1.1.6. Estratégia de pivoteamento.
A.1.1.1.6.1. Exemplo.
A.1.1.1.6.2. Resumindo.
A.1.1.1.7. Fatoração LU.
A.1.1.1.8. Diferentes decomposições LU.
A.1.1.1.8.1. Algoritmo da decomposição de Crout.
A.1.1.1.8.2. Algoritmo para redução de Crout.
A.1.1.2. Definição de matriz de permutação.
A.1.1.2.1. Algoritmo de redução de Crout com permutação de linhas.
A.1.1.3. Decomposição de Cholesky.
A.2. Teorema.
A.3. Composição de fatores.
A.3.1. Exemplo.
A.3.2. Algoritmo.
A.4. Solução de sistemas lineares.
A.4.1. Decomposição LU.
A.4.2. Substituição direta.
A.4.3. Substituição inversa.
A.4.4. Substituição directa.
A.4.5. Algoritmo para atualização por colunas.
A.4.6. Decomposição de Cholesky.
A.4.7. Exercícios (1 a 10)
A.4.7.1. Soluções.
A.4.7.2. Exercícios de aplicação dos sistemas de equações lineares.
A.4.8. Resolução e discussão de um sistema.
A.4.8.1. Exemplos (1 a 3).
A.4.8.2. Discussão de um sistema.
A.4.8.2.1. Observação.
A.4.9. Definição.
A.4.9.1. Observação.
A.4.10. Exercício.
A.4.11. Resolução e discussão de sistema pelo método de Gauss.
A.4.11.1. Exemplo.
A.4.12. Algumas observações sobre os métodos de Gauss e Gauss-Jordan.
A.4.13. Algumas observações sobre sistemas lineares homogéneos.
A.4.14. Método de Gauss-Jordan para o escalonamento reduzido por linhas de matrizes.
A.4.15. Resolução de um sistema de equações lineares usando a matriz escalonada reduzida.
A.4.16. Exercícios.
A.4.17. Problema resolvido.
1. Solução de Sistemas de Equações Lineares – Método de Castilho
Na engenharia, por diversas vezes, temos a necessidade de resolver sistemas de equações lineares. E a verdade é que esses sistemas, quando passam a ter muitas equações com muitas incógnitas, tornam a sua resolução, sem a ajuda da máquina, um tanto quanto trabalhosa, principalmente quando utilizamos os métodos comuns, tais como escalonamento, Cramer, métodos interativos, etc. Por outro lado, certas máquinas não aceitam sistemas de equações com mais de seis equações lineares.
O Método de Castilho, pelo contrário, torna bem mais simples a resolução desses sistemas, seja quanto for o número de equações que ele possui.
Este método foi criado pelo limeirense Prof. José Justino Castilho.
Antes de entender a lógica desse método, vamos recordar que o sistema de equações na forma canónica,
2. Sistemas de Equações Lineares
2.1. Definições
2.1.1. Uma equação linear em n incógnitas x1, x2,..., xn é uma equação da forma
Posfácio
O texto deste livro corresponde às aulas, nas Universidades do Portuguesas, e Institutos Superiores, ainda à Sorbonne e do MIT deste segmento de matemática para os cursos de matemáticas, engenharia e gestão nos primeiro, segundo e terceiros ciclos universitários preparadas pelo autor durante os últimos anos. É teórico prático. Há um texto de problemas com soluções desenvolvidas.
O autor, agora como membro da Academia de Ciências de Nova Iorque, prepara doutorandos nas suas teses.
Sofia P. Vaz
[1] Os proventos financeiros serão aplicados em favor da Igreja nova da minha paróquia. No entanto reservamos os direito ao uso nos nossos manuais do método como foi apresentada a matéria.