Vol. II. – CURSO DE GEOMETRIA DINÂMICA APLICADA
EMANUEL EDUARDO PIRES VAZ
Em nome da minha neta RITA[1].
Prefácio.
O "Curso de Geometria Dinâmica" foi concebido para ser utilizado, como livro didático, por estudantes de matemática e engenharia na nossa Universidade nos três ciclos ou para a educação continuada dos nossos professores de matemática do ensino secundário.
A discussão sobre o motivo pelo qual um texto teórico e prático é importante é solucionada principalmente pela ajuda aos alunos em compreender por que razão determinados processos de cálculo podem ser necessários em diferentes circunstâncias.
A escrita e a montagem desses tópicos em geometria é um trabalho de proporções enormes. Nestas circunstâncias, o autor limitou os seus esforços para os principais tópicos em geometria dinâmica, que são normalmente ensinados e as soluções dadas pelos seus discípulos são delineadas neste livro.
O autor seguiu de perto os ensinamentos dos ilustres colegas que hoje em dia leccionam na Universidade do Porto os cursos de mestrado e a formação contínua para professores. Alguns assuntos foram tratados de uma forma inovadora; usámos o Geogebra[1] 3 nas nossas apresentações gráficas.
Emanuel Vaz
ÍNDICE
Dedicatória.
Prefácio.
Índice.
Geometria Dinâmica: História.
Módulo 1. Preliminares.
- Notações.
- Reta que une dois pontos.
- Reta que passa por um ponto
e é paralela a um certo vetor 
.
1.4. Equação cartesiana do plano.
1.5. Equação cartesiana do plano contendo que passa por três pontos.
1.6. Co-linearidade de três pontos .
1.7. Concorrência de três linhas retas .
1.8. Feixe de retas.
Módulo 2. Comprimentos orientados.
2.1. Comprimentos orientados ( com sinal).
2.2. Razão de comprimentos orientados.
2.3. Ponto 
que divide o segmento 
na razão 
.
2.4. Fórmula da razão..
2.5. Estudo da variação da razão 
, quando varia na reta definida por dois pontos distintos e 
.
2.6. Ponto médio do segmento .
2.7. Centróide de um triângulo.
2.8. Teorema de Commandino.
2.9. Teorema.
2.10. Lados esquerdo e direito de uma reta orientada.
2.11. Distância orientada entre um ponto e uma reta.
2.12. Exercício.
2.13. Exercício.
2.14. Exercício.
Módulo 3. O grupo afim GA(2)
3.1. Transformação afim.
3.2. Grupo afim.
3.3. Teorema.
3.4. Exercício.
3.5. Corolário.
3.6. Teorema.
3.7. Invariantes de uma transformação afim.
3.8. Método fundamental de prova.
3.9. Exercício.
3.10. Problema.
3.10.1. Teorema de Ptolomeu.
3.10.1.1. Definição.
3.10.1.1.1. Teorema.
3.10.1.1.1.1. Teorema
3.10.1.1.1.2. Proposição.
3.10.1.1.1.3. Deduzir o teorema de Pitágoras.
3.10.1.2. Aplicações do teorema de Ptolomeu.
3.10. 1.3. Teorema de Casey.
3.10.1.3.1. Teorema de Ptolomeu para quadriáteros inscritos numa circunferência.
3.10.1.3.2. Lema 1.
3.10.1.3.3. Lema 2
3.10.1.4. Banco de problemas resolvidos pelos estudantes sobre o teorema de Casey.
3.10.1.5. Teorema.
3.10.1.5.1. Corolário.
3.11. Isometrias no plano.
3.11.1. Definições.
3.11.2. Translações.
3.11.3. Rotações.
3.11.3.1. Uma rotação é uma isometria.
3.11.3.2. Meias-voltas.
3.11.3.3. Rotação em duas dimensões.
3.11.4. Reflexões.
3.12. Ainda as transformações no plano.
3.12.1. Transformações de semelhança.
3.12.3. Lema.
3.12.3.1. Propriedades.
3.13. Grupo diedral.
3.13.1. Grupo diedral D5.
3.13.2. Grupo diedral 
.
3.13.2.1. Quantos padrões de colares existem com 6 pérolas brancas ou pretas?
3.13.2.1.1. Enunciado e demonstração do lema de Burnside.
3.13.2.2. Índice de ciclos de um grupo de permutações.
3.13. 2.3. Índice de ciclos do grupo das rotações 
do hexágono regular.
3.13.2.4. Índice de ciclos do grupo diedral .
3.13.2.5. Generalização: cálculo do índice de ciclos do grupo diedral 
. 3.14. Função de Euler.
3.14.1. Definição.
3.15. Teorema de Polya.
3.15.1. Problema.
3.15.2. Problema.
3.15.3. Demonstração do teorema de Polya.
3.15.4. Lema de Burnside (com pesos).
3.15.4.1. Demonstração do lema de Burnside.
3.15.4.2. Demonstração do teorema de Polya.
3.16. Outra versão do teorema de Polya.
3.17. Teorema de Pollya II.
3.17.1. Problema.
3.18. Curiosidades.
3.19. Frisos.
3.19.1. Rosáceas, frisos e padrões.
3.20. Classificação das isometrias em 
.
3.21. Atividades sobre isometrias.
3.21.1. Atividade 1.
3.21.1.1. Desenvolvimento.
3.21.2. Atividade 2.
3.21.2.1. Desenvolvimento.
3.21.3. Atividade 3.
3.21.4. Atividade 4.
3.21.5. Atividade 5.
3.21.5.1. Desenvolvimento.
3.21.6. Atividade 6.
3.21.6.1. Desenvolvimento.
3.21.7. Atividade 7.
3.21.7.1. Desenvolvimento
3.21.8. Atividade 8.
3.21.8.1. Desenvolvimento..
3.21.9. Atividade 9.
3.21.9.1. Desenvolvimento.
3.21.10.1. Atividade 10.
3.21.11. Atividade 11.
3.21.12. Atividade 12.
3.21.13. Atividade 13.
3.21.13.1. Desenvolvimento.
3.21.11.4. Atividade 14.
3.21. 15. Desenvolvimento.
3.21.16. Atividade 16.
Módulo 4. Áreas de Triângulos.
4.1. Área orientada de um triângulo.
4.2. Proposição.
4.3. Exercício.
4.4. Exercício
4.5. Exercício.
4.6. Exercício.
4.7. Problema.
Módulo 5. Transversais, fórmulas de Routh.
5.1. Cevianas.
5.2. Relações de Routh.
5.3. Demonstração da relação de Routh.
Módulo 6. Teoremas de Ceva e Menelaus. Aplicações.
6.1. Teorema de Menelaus.
6.2. Teorema de Ceva.
6.3. Exercício.
6.4. Demonstração do teorema de Ceva a partir do teorema de Menelaus.
6.5. Teorema recíproco.
6.6. Exercício.
6.7. Exercício.
6.8. Exercício.
6.9. Corolário.
6.10. Teoremas generalizado da bissetriz.
6.11. Fórmula trogonométrica do teorema de Ceva.
6.12. Exercício.6.13. Exercício.
6.14. Exercício.
6.15. Exercício.
6.16. Exercício.
6.16. Teorema de Desarguers.
6.17. Teorema de Pascal.
6.18. Teorema de Van Aubel.
6.19. Corolário.
Módulo 7. Lugares geométricos em geometria Euclideana.
7.1. Exercício.
7.2. Método.
7.3. Exercício.
7.4. Exercício.
7.4.1. Definição.
7.4.2. Lema.
7.4.3. Resolução desenvolvida do exercício 7.4.
7.5. Círculos de Apollonius.
7.6. Estudo do comportamento dos círculos de Apollonius Ck= 
de centro 
e raio 
.
7.7. Geometria aberta para a elipse.
7.7.1. Elementos de uma elipse.
7.7.2. Equações.
7.7.2.1. Excentricidade.
7.7.2.3. Diretriz circular.
7.7.3. Elipse como uma hypotrochoid.
7.7.4. Área de uma elipse.
7.7.5. Perímetro da elipse.
7.8. Elipse em geral.
7.8.1. Forma canónica da equação implícita da elipse.
7.9. Fprma trigonométrica da elipse.
7.9.1. Formaétrica geral.
7.9.2. Forma canónica da equação da elipse quando está na posição canónica.
7.10. Forma polar da elipse relativa ao seu centro.
7.11. Forma polar relativa ao foco.
7.12. Fórmula a polar geral.
7.12.1. Excentricidade angular.
7.13. Aplicações.
7.14. Exercício.
7.15. Exercício.
7.16. Exercício.
7.17. Exercício.
7.18. Exercício.
7.19. Exercício.
Módulo 8.
8.1. Geometria espacial.
8.1.1. Áreas.
8.2. Teoremas de Pappus-Guldin.
8.2.1. Teorema 1.
8.2.1.1. Problema.
8.2.1.2. Problema.
8.2.1.3. Problema.
8.3. Teorema 2.
8.3.1. Problema.
8.3.1.1. Supefícies de revolução.
8.3.2. Elipsóide de revolução.
8.3.2.1. Parabolóide de revolução.
8.3.2.2. Hiperbolóide de revolução.
8.3.2.3. Rotacional de um campo vetorial.
8.4. Teorema da divergência de Gauss.
8.4.1. Aplicação do teorema da divergência na geometria.
8.4.2. Aplicação à esfera.
8.4.3. Aplicação do teorema de Gauss ao cone.
8.4.4. Aplicação do teoema da divergência de Gauss à pirâmide.
8.5. Relação entre os campos escalares e os campos vetoriais.
8.5.1. Aplicação à engenharia elétrica.
8.5.1.1. Linhas de força de um campo vetorial.
8.5.2. Significado do sinal do fluxo de um vetor numa superfície fechada.
8.5.3. Tubo de força.
8.5.4. Equação da continuidade.
8.5.5. Tratamento da equação da continuidade.
8.5.6. Campo vetorial solenoidal.
Módulo 9. Geometria Aplicada: Forças distribuídas, centróides e Baricentros: aplicações à engenharia.
9.1. Problema.
9.2. Problema.
9.3. Problema.
9.4. Problema.
9.5. Problema
9.6. Problema.
9.7. Problema.
9.8. Problema.
9.9. Problema.
9.10. Problema.
9.11. Problema.
9.12. Problema.
9.13. Problema.
9.14. Problema.
9.15. Problema.
9.16. Problema.
9.17. Problema.
9.18. Problema .
9.19. Problema; resolução usando cálculo numérico para na determinação de integrais, com a fórmula dos dois níveis.
Módulo 10.
10.1. Sistema cilíndrico.
10.2. Coordenadas cilíndricas de um ponto.
10.3. Passagem das coordenadas do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal.
10.4. Exercícios.
10.6. Exercícios.
Módulo 11. Lugares geométricos.
11.1. Método direto I.
11.2. Exemplos.
11.3. Método direto II.
11.4. Método indireto.
11.5. Exemplo.
11.6. Exemplo.
11.7. Eliminação.
11.8. Equações lineares.
11.9. Exemplo.
11.10. Exemplo.
11.11. Exemplo.
11.12. Teorema.
11.13. Superfícies.
11.14. Exemplo.
11.15. Equação geral dos cilindros de geratrizes paralelas a um dos eixos coordenados.
11.16. Cones.
11.17. Função homogénea.
11.18. Exercício.
11.19. Eixos retangulares.
11.19.1. Equações paramétricas da geratriz.
11.19.2. Equações mais gerais dos planos das circunferências (geratrizes).
11.19.3. Equações da reta 
dada (diretriz).
11.20. Superfície de revolução.
11.20.1. Paralelos.
11.21. Equação do 2º grau onde não há termos retangulares.
11.22. Cone de vértice na origem.
11.23. Quádricas.
11.23.1. Em eixos retangulares.
11.23.2. Elipsóide.
11.23.2.1. Planos de simetria.
11.23.2.2. Secção pelo plano 
.
11.23.2.3. Conclusão secções de (nível).
11.23 2.4. Secções verticais.
11.23.2.5. Conclusão ( secções verticais).
11.24. Equação do hiperbolóide.
11.24.1. Secções de nível.
11.24.2. Secções verticais.
11.25. Simetria em relação aos três planos coordenados e em relação à origem.
11.25.1. Cone real.
11.25.2. Hiperbolóide de duas folhas.
11.25.3. Secções horizontais.
11.25.4. Secções verticais.
11.26. Parabolóide.
11.26.1. Secções de nível.
11.26.2. Secções verticais.
11.27. Parabolóide hiperbólico.
11.27.1. Secções de nível.
11.27.2. Secções verticais.
11.28. Cilindros de geratrizes paralelas a um dos eixos.
11.29. Quádrica degenerada em dois planos paralelos.
Referências.
Posfácio.
Geometria Dinâmica: História.
A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesar do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.
Ocorre porém que o facto de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.
Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.
A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica.
O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de frequentar altas rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.
A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabiam que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.
O matemático grego Menaechmus resolveu problemas e provou teoremas usando um método que tinha uma forte semelhança com a utilização de coordenadas e que por vezes se tem mantido na geometria analítica. Apollonius de Perga, na On Determinate Section tratou problemas de uma forma que pode ser chamada de geometria analítica de uma dimensão; a questão era encontrar pontos em uma linha que se encontravam com uma relação com os outros. Apollonius no Conics desenvolveu um método que é semelhante à geometria analítica que por vezes faz pensar ter antecipado o trabalho de Descartes por alguns 1800 anos. A sua aplicação das linhas de referência, um diâmetro e uma tangente não é essencialmente diferente do nosso moderno processo utilizado dede coordenadas rectangulares, onde as distâncias ao longo do diâmetro medido a partir do ponto de tangente são as abscissas, e os segmentos paralelo à tangente e interceptadas entre O eixo e as curva são os ordenates. Ele desenvolveu relações entre as abscissas e as correspondentes ordenades que são equivalentes às equações de curvas. No entanto, embora Apollonius tivesse chagado perto do desenvolvimento actual da geometria analítica, ele não foi capaz de fazê - lo, pois ele não tinha em conta grandezas negativas e em todos os casos, o sistema de coordenadas foi superposto sobre uma dada curva, a posteriori, em vez de, a priori. Isto é, as equações foram determinadas por curvas, mas não foram determinadas por equações. Coordenadas, variáveis e equações foram afinal as noções aplicadas a uma determinada situação geométrica.
No século XI o matemático persa Omar Khayyám viu uma forte relação entre a geometria e a álgebra, e caminhou na direcção certa, quando ele ajudou a fechar o fosso entre a geometria numérica e a álgebra com a sua solução geométrica geral das equações cúbicos. Mas o passo decisivo veio depois com Descartes.
Geometria analítica tem sido tradicionalmente atribuída a René Descartes, que fez um progresso significativo com os métodos da geometria analítica, quando em 1637 no apêndice intitulado Geometria da intitulado Discurso sobre o Método de Conduzir Correctamente a Rasão no trabalho Pesquisa de Verdade na Ciência, vulgarmente designado por Discurso sobre o Método. Este trabalho, escrito na sua língua natal francesa, e os seu princípios filosóficos, fundam o cálculo na Europa.
Abraham de Moivre também foi pioneiro no desenvolvimento da geometria analítica. Com a hipótese do axioma de Cantor-Dedekind, que essencialmente refere que a geometria euclideana é essencialmente interpretável pela geometria analítica (ou seja, cada teorema é dependente de outro teorema), Alfred Tarski dá-nos a prova da decidabilidade do campo real que pode ser vista como uma prova de que geometria euclideana é coerente e decisiva. Já no século XX a geometria teve continuadores; lembro o Professor Queirós e seus discípulos muito alicerçados nas investigações francesas, como por exemplo o professor A.Andrade Guimarães na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto; O professor Queiroz deixou-nos um legado nas suas lições muito originais na geometria descritiva e na projectiva.
MÓDULO 1. PRELIMINARES
- Notações. Consideremos os pontos A,B,C, ... no plano, ou no espaço. Fixemos uma origem O de forma arbitrária. Os vectores de posição de A, B, etc., relativamente a essa origem, serão designados por letras “bold face” minúsculas. Por exemplo:
3.12.2. Homotetias. São outros exemplos de transformações de semelhança. Homotetias são transformações que, mantendo um ponto fixo O, chamado centro da homotetia, multiplicam a medida de qualquer segmento de reta que passe por este ponto, por um fator constante a, chamado razão da homotetia. Por outras palavras, homotetias mantêm um ponto fixo e "dilatam" (ou "contraem") os segmentos de reta que passam por este ponto por um fator constante a.
Esta propriedade das homotetias é usada para "ampliar" ou "diminuir" o tamanho das figuras. A figura ao lado ilustra como as homotetias "dilatam" (ou "contraem") os segmentos de reta que passam pelo seu ponto fixo que, neste exemplo, é o ponto (0,0). Veja como esta transformação causa uma "ampliação" ("contração") da figura original. Esta é a transformação geométrica que está por detrás das técnicas de ampliação-redução usadas por desenhistas e fotógrafos.
3.12.3.1. Propriedade: Mostre que uma reflexão numa reta r seguida de uma translação não paralela a r coincide com uma reflexão deslizante numa reta r.
Conclua que se obtém um resultado idêntico se se aplicar primeiro a translaçãso e depois a reflexão.
Prova:
O esquema a construir está precisamente nas condições do lema 3.12.3 : A demonstração relativa ao primeiro parágrafo da propriedade está demonstrada.
O segundo parágrafo resulta das expressões que se apresentaram para a reflexão e para a translação neste texto.
3.13. Grupo diedral. Em matemática e, em especial, na teoria dos grupos, um grupo diedral é o grupo de simetrias de um polígono regular de n lados qualquer, que se representa quer por quer por .
3.13.1.Grupo diedral .[1]Consideremos um pentágono regular. É fácil verificar que o conjunto das simetrias de um pentágono regular, ao qual é dada a designação de grupo Diedral D5 tem apenas 10 elementos, cinco rotações e cinco reflexões.
3.13.2. Grupo diedral .
3.13.2.1. Quantos padrões de colares existem com 6 pérolas brancas ou pretas?
O que é um padrão de colar?
Imaginemos que as pérolas ocupam os vértices de um hexágono regular. Consideramos o conjunto das colorações 
dos vértices, usando duas cores - branco e preto. Sabemos que existem as 64 colorações seguintes.
[1] Ideia de Verhoeff.
[1] Geogebra 3 é uma ferramenta informática de valor e pode ser encontrada na web gratuitamente.
[1] “Quando morreres só levarás contigo aquilo que tiveres dado”. Saadi.