MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA E CIÊNCIAS Vol. II. – CURSO DE GEOMETRIA DINÂMICA APLICADA - Emanuel Eduardo Pires Vaz

326 páginas.

Público alvo: alunos de matemática e de engenharia dos segundo e terceiro ciclos, professores em vias de progressão curricular e engenheiros profissionais.
Conteúdos: Geometria Dinâmica: História. Módulo 1. Preliminares. Notações. Reta que une dois pontos. Reta que passa por um ponto   e é paralela a um certo vetor  . Equação cartesiana do plano. Equação cartesiana do plano contendo que passa por três pontos. Co-linearidade de  três pontos . Concorrência  de três linhas retas . Feixe de retas. Módulo 2. Comprimentos orientados. Comprimentos orientados ( com sinal). Razão de comprimentos orientados. Ponto   que divide o segmento   na razão  .  Fórmula da razão. Estudo da variação da razão  , quando   varia na reta definida por dois pontos distintos   e  . Ponto médio do segmento  . Centroide de um triângulo. Teorema de Commandino.  Teorema. Lados esquerdo e direito de uma reta orientada. Distância orientada entre um ponto e uma reta. Exercício.  Exercício. Exercício. Módulo 3. O grupo afim GA(2). Transformação afim. Grupo afim.  Teorema. Exercício. Corolário. Teorema. Invariantes de uma transformação afim.  Método fundamental de prova. Exercício. Problema. Teorema de Ptolomeu. Definição. Teorema. Teorema. Proposição. Deduzir o teorema de Pitágoras. Aplicações do teorema de Ptolomeu. Teorema de Casey. Teorema de Ptolomeu para quadriláteros inscritos numa circunferência.   Lema 1. Lema 2. Banco de problemas resolvidos pelos estudantes sobre o teorema de Casey. Teorema. Corolário. Isometrias no plano. Definições. Translações. Rotações. Uma rotação é uma isometria. Meias-voltas. Rotação em duas dimensões. Reflexões. Ainda as transformações no plano.  Transformações de semelhança. Lema. Propriedades. Grupo diedral.  Grupo diedral D5. Grupo diedral  . Quantos padrões de colares existem com 6 pérolas brancas ou pretas?  Enunciado e demonstração  do lema de Burnside. Índice de ciclos de um grupo de permutações.  Índice de ciclos do grupo das rotações    do hexágono regular. Índice de ciclos do grupo diedral  . Generalização: cálculo do índice de ciclos do grupo diedral  . 3.14. Função de Euler.  Definição. Teorema de Polya. Problema.  Problema. Demonstração do teorema de Polya. Lema de Burnside (com pesos).  Demonstração do lema de Burnside. Demonstração do teorema de Polya. Outra versão do teorema de Polya. Teorema de Pollya II.  Problema. Curiosidades. Frisos. Rosáceas, frisos e padrões. Classificação das isometrias em  . Atividades sobre isometrias. Atividade 1.  Desenvolvimento. Atividade 2.. Desenvolvimento. Atividade 3. Atividade 4. Atividade 5. Desenvolvimento. Atividade 6. Desenvolvimento. . Atividade 7. Desenvolvimento. Atividade 8. . Desenvolvimento. Atividade 9. Desenvolvimento. Atividade 10. Atividade 11. Atividade 12. Atividade 13.Desenvolvimento. Atividade 14. Desenvolvimento. Atividade 16. Módulo 4. Áreas de Triângulos. Área orientada de um triângulo. Proposição. Exercícios. Problema. Módulo 5. Transversais, fórmulas de Routh.´ Cevianas. Relações de Routh. Demonstração da relação de Routh. Módulo 6. Teoremas de Ceva e Menelaus. Aplicações. Teorema de Menelaus. Teorema de Ceva. Exercício. Demonstração do teorema de Ceva a partir do teorema de Menelaus. Teorema recíproco. Exercícios.  Corolário. Teoremas generalizado da bissetriz.  Fórmula trogonométrica do teorema de Ceva. Exercício. Exercícios. Teorema de Desargues.  Teorema de Pascal. Teorema de Van Aubel.  Corolário. Módulo 7. Lugares geométricos em geometria Euclideana. Exercício. Método. Exercícios.  Definição.  Lema. Resolução desenvolvida do exercício 7.4. Círculos de Apollonius. Estudo do comportamento dos círculos de Apollonius Ck=   de centro   e raio  . Geometria aberta para a elipse. Elementos de uma elipse. Equações. Excentricidade. Diretriz circular.  Elipse como uma hypotrochoid.  Área de uma elipse. Perímetro da elipse. Elipse em geral. Forma canónica da equação implícita da elipse. Forma trigonométrica da elipse. Forma paramétrica geral. Forma canónica da equação da elipse quando está na posição canónica. Forma polar da elipse relativa ao seu centro. Forma polar relativa ao foco. Fórmula a polar geral.  Excentricidade angular. Aplicações. Exercícios.Módulo 8. Geometria espacial. Áreas. Teoremas de Pappus-Guldin. Teorema 1. Problema. Problema. Problema. Teorema 2. Problema. Superfícies de revolução.  Elipsóide de revolução.  Paraboloide de revolução. Hiperboloide de revolução. Rotacional de um campo vetorial.  Teorema da divergência de Gauss.  Aplicação do teorema da divergência na geometria. Aplicação à esfera. Aplicação do teorema de Gauss ao cone. Aplicação do teorema da divergência de Gauss à pirâmide. Relação entre os campos escalares e os campos vetoriais. Aplicação à engenharia elétrica. Linhas de força de um campo vetorial. Significado do sinal do fluxo de um vetor numa superfície fechada. Tubo de força. Equação da continuidade.  Tratamento da equação  da continuidade. Campo vetorial solenoidal. Módulo 9. Geometria Aplicada: Forças distribuídas, centroides e Baricentros: aplicações à engenharia. Problemas. Problema;  resolução usando cálculo numérico para na determinação de integrais, com a fórmula dos dois níveis. Módulo 10.  Sistema cilíndrico. Coordenadas cilíndricas de um ponto. Passagem das coordenadas do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal.  Exercícios. Módulo 11. Lugares geométricos. Método direto I. Exemplos. Método direto II.  Método indireto. Exemplos. Eliminação. Equações lineares. Exemplos. Teorema.  Superfícies. Exemplo. Equação geral dos cilindros de geratrizes paralelas a um dos eixos coordenados. Cones.  Função homogénea. Exercício. Eixos retangulares.  Equações paramétricas da geratriz. Equações mais gerais dos planos das circunferências (geratrizes).  Equações da reta   dada (diretriz). Superfície de revolução.  Paralelos. Equação do 2º grau onde não há termos retangulares. Cone de vértice na origem. Quádricas.  Em eixos retangulares.  Elipsoide.  Planos de simetria. Secção pelo plano  . Conclusão secções de (nível). Secções verticais. Conclusão ( secções verticais). Equação do hiperboloide. Secções de nível. Secções verticais. Simetria em relação aos três planos coordenados e em relação à origem. Cone real. Hiperboloide  de duas folhas. Secções horizontais. Secções verticais.  Paraboloide. Secções de nível. Secções verticais. Paraboloide hiperbólico. Secções de nível.  Secções verticais. Cilindros de geratrizes paralelas a um dos eixos.  Quádrica degenerada em dois planos paralelos. Referências.